%English

The Schrodinger Equation

%German

Die Schr"odinger Gleichung

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Preface

%German

Vorwort

%English This article will cover the Schrodinger Equation, which represents a non-relativistic differential equation governing quantum particles. Relativistic effects are not taken into account here. %German Dieser Artikel wird sich mit der sogenannten Schr"odinger Gleichung besch"aftigen, eine nicht-relativistische Differenzialgleichung zur Beschreibung der Wellenfunktion von Quantenobjekten.

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Derivation

%German

Herleitung

%English It should be mentioned that the Schrodinger Equation cannot be derived traditionally but rather represents a semi-logical conclusion from a number of assumptions/axioms. %German Es soll erw"ahnt sein, dass die Schr"odinger Gleichung nicht traditionell hergeleitet werden kann und statdessen eine halb-logische Folge einer Reihe an Annahmen und Axiomen darstellt.

%English

Known properties of traditional waves

%German

Bekannte Eigenschaften traditioneller Wellen

%English In quantum mechanics, particles are assumed to be governed by a wave function. Louis-de-Broglie postulated that matter waves should have the same wavelength as photons, whose wavelength depends on their respective impulse: %German In der Quantenmechanik werden Teilchen durch ihre jeweilige Wellenfunktion modelliert. Louis-de-Broglie postullierte, dass Materiewellen die selbe wellenl"ange wie Photonen mit demselben Impuls aufweisen:

%common $$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m*v} $$

%English A basic wave function for a travelling monochromatic wave can be written as: %German Eine einfache Wellenfunktion f"ur eine monochromatische bewegte Welle kann folgenderma"sen geschrieben werden:

%common $$ \Psi = \cos(kx - \omega t) = e^{i(kx - \omega * t)} $$

%English Schrodinger assumed that a matter wave should have the same wave form. From this, we can derive, %German Schrodinger nahm an, dass eine Materiewelle eine "ahnliche Wellenfunkoion aufweisen wu"rde. Aus dieser Wellenfunktion l"asst sich mithilfe der oben erw"ahnten de-Broglie-Wellenl"ange herleiten, dass %common $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2 \pi p}{h} $ %English using the de-Broglie-wavelength as mentioned above. With %German Mit dem Wissen, dass %common $ v = f \lambda $ %English for each wave, one can also conclude that %German f"ur Welle gilt, l"asst sich auch folgern, dass folgende Beziehung stimmt: %common $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \frac{v}{\lambda} = \frac{2 \pi v * p}{h} $. %English We can rewrite the wave function as follows: %German Deshalb l"asst sich die Wellenfunktion folgenderma"sen schreiben:

%common $$ \Psi = e^{i(\frac{2 \pi p}{h}x - \frac{2 \pi v p}{h} t)} = e^{\frac{ip}{\hbar}(x - v*t)} $$

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Obtaining the Schrodinger equation through energy conversion

%German

Herleitung der Schr"odinger Gleichung durch den Energieerhaltungssatz

%English The total sum of energies should be a constant for physical particles. For this, the sum of the kinetic Energy %German Die Summe der verschiedenen Energien eines Teilchens sollte nach dem Energieerhaltungssatz konstant seit. Dazu muss die Summe aus der kinetischen Energie %common $E{kin} = \frac{p^{2}}{2*m}$ %English and potential energy %German und der potentiellen Energie %common $E{pot} = V$, %English need to be constant. Here, $V$ describes some arbitrary potential, which in practice will need to be multiplied by its respective "charge" of a particle (this could be its mass for a gravitational potential or the charge for electric fields). Thusly, one can write: %German konstant sein. Hierbei beschreibt $V$ ein beliebiges potential, das in der Praxis mit der entsprechenden "Ladung" des Teilchens multipliziert werden muss (Diese Ladung kann die Masse des Teilchens im Bezug auf das Gravitationsfeld oder die elektrische Ladung im elektrischen Feld darstellen). Deshalb l"asst sich schreiben:

%common $$ E = E{kin} + E{pot} = \frac{p^{2}}{2m} + V $$ $$ E \Psi = \frac{p^{2}}{2m} \Psi + V * \Psi $$

$E$ %English and %German und %common $p$ %English are some (yet unknown) operators on $\Psi$ which respectively should return the impulse and total energy for the wave function. For wave function to be valid, this equation must be true. On the other hand, we can obtain these operators using the basic wave function mentioned above. %German stellen zwei (noch unbekannte) operatoren auf $\Psi$ dar, die jeweils den den Impuls und Gesamtenergie der Wellenfunktion darstellen. Damit eine Wellenfunktion den Energieerhaltungssatz erf"ullt, muss diese Gleichung stimmen. Wiederum lassen sich diese Operatoren mithilfe der einfachen (oben erw"ahnten) Wellenfunktion herleiten.

%English Noting the factor $p$ in the exponent of $\Psi$, you might write %German Bemerkt man den Faktor $p$ im Exponenten von $\Psi$ wie oben erw"ahnt la"sst sich schreiben: %common $\frac{\partial{\Psi}}{\partial{x}} = \frac{i p}{\hbar} \Psi$, %English and obtain %common $p \Psi = -i\hbar*\frac{\partial{\Psi}}{\partial{x}}$. %English Plugging this back into the energy conservation equation, we obtain the time-independent schrodinger equation: %German Mit dem Einsetzen in den Energieerhaltungssatz erh"alt man die zeit-unabh"angige Schr"odinger Gleichung:

%common $$ E \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial^2 x} + V\Psi$$

%English You might also note that the total energy of a photon can be expressed as %German Auch ist zu beachten, dass die Energie eines Photons geschrieben werden kann als %common $E_{ph} = h f = \frac{hpv}{h} = p v$. %English Using the x-derivative is not convenient, but you might note that %German Die "ortliche Ableitung ist hier nicht sehr praktisch, aber man kann %common $\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-ipv}{\hbar} \Psi$ %English .We can rewrite this as %German schreiben. Das kann auch ausgedr"uckt werden als %common $E\Psi = pv\Psi = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$

%English Substituting this relation into the time-independent Schrodinger equation, the time-dependent can be obtained: %German Mit dem Einsetzen dieses Zusammenhangs in die zeitunabh"angige Schr"odinger Gleichung kann die zeitabh"angige Form erhalten werden:

%common $$ i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial^2 x} + V*\Psi$$

%English

Solving the Schrodinger Equation

%German

L"osen der Schr"odinger Gleichung

%English

Particle in a box

%German

Teilchen im eindimensionalen Potentialtopf

%English A simple way to describe a confined electron (as in inside of an atom) is to create a potential which is equal to $0$ inside of the $l$ long box and $\infty$ elsewhere. %German Eine simple Methode, ein lokal eingegrenztes Elektron (z.B in einem Atom eingegrenzt) ist die Modellierung anhand eines Potentialtopfes, der innerhalb des $l$ langen Bereichs ein Potential von $0$ aufweist und das Potential ansonsten $\infty$ ist.

%common $$ V = 0 \forall x \in [0; l] $$ $$ V = \infty \forall x \notin [0; l] $$

%English The particle can only be found inside of the box which only permits the wave function to not equal $0$ inside of the box. Also keep in mind that continuity needs to be preserved in the wave function. %German Das Teilchen kann nur innerhalb des Potentialtopfes gefunden werden. Deshalb darf die Wellenfunktion nur innerhalb des Topfes existieren und gleich $0$ Au"serhalb.

%common $$ \Psi = 0 \forall x \notin [0, l] $$ $$ \Psi \in \mathbb{C} \forall x \in [0, l] $$

%English Inside of the box, we can assume the particle to be stationary. This is why you can try solving this situation using the time-independent Schrodinger Equation: %German Innerhalb des Potentialtopfes kann das Teilchen als station"ar angeshen werden. Deshalb kann diese Situation mithilfe der zeitunabh"anigen Schr"odinger Gleichung modelliert werden:

%common $$ E \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} * \frac{\partial^2 \Psi}{\partial^2 x}$$

%English You will notice the wave function needs to be proportional to its negated second derivative. This differential equation is solved by a sine wave: %German Hier tritt hervor, dass die Wellenfunktion proportional zu ihrer negativen zweiten Ableitung sein muss. Diese Differenialgleichung l"asst sich durch eine Sinuswelle l"osen:

%common $$\Psi{x} = A \sin(kx + \alpha{0}) $$